Isla de Proporcilandia y los Porcentajes
¡Enhorabuena! Has ayudado con éxito al mono Poncho, a la tortuga Brinco, al koala Chencho y a la serpiente Pancha para viajar hasta la siguiente isla y has llegado a PROPORCIOLANDIA y LOS PORCENTAJES. ¿Recuerdas todo lo aprendido sobre ellos?
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Objetivos de la situación:
· Expresar y comprender los porcentajes respecto a un total.
· Realizar cálculos simples de adicción y sustracción de porcentajes manipulando el material.
· Calcular el porcentaje de un número.
Duración de la clase: 60 minutos.
Material: Varias cartulinas de cinco colores diferentes, un rotulador y tijeras.
Organización del aula y metodología:
La clase empezó con un breve repaso de las anteriores islas para continuar con la explicación teórica del porcentaje. Tras esto, organizamos a los alumnos en grupos de 3 personas e introdujimos los materiales para una aplicación práctica de la teoría.
Después, en disposición individual, pasamos a la explicación del cálculo del porcentaje de un número y para finalizar, por parejas, resolvieron los ejercicios propuestos.
Explicación teórica:
Explicamos que el porcentaje nos indica qué parte de un total representa una cantidad. Representa una cantidad dada como una fracción cuyo denominador es 100. Cuando dices "por ciento" en realidad dices "por cada 100".
Los porcentajes están relacionados con las fracciones, que vimos en la primera isla, y también con los decimales, que acabamos de ver en Decimalandia. Así, podemos expresar los porcentajes de varias formas:
Aplicación práctica:
Repartimos a cada grupo de tres alumnos unas cartulinas redondas de diferentes colores, cortadas de forma que representen diferentes porcentajes:
· Un círculo que representa el 100%.
· Dos semicírculos que representan el 50%.
· Cuatro cuartos de un círculo que representan el 25%.
· Diez décimas partes de un círculo que representan el 10%.
· Veinte veinteavas partes de un círculo que representan el 5%.
Tras esto, planteamos unos problemas para ser resueltos manipulando el material. Trabajando sobre el círculo que representa el 100% pudieron comprobar gráficamente un porcentaje, además de resolver sumas y restas sencillas. Los enunciados fueron:
- Paco tiene 100 hectáreas para plantar árboles. Si dedica 25 hectáreas para limoneros, ¿qué porcentaje hay de limoneros? Si planta olivos en otras 40 hectáreas, ¿qué porcentaje hay plantado?
- En un instituto, sumando los cursos de cuarto hay 100 alumnos. 55 son chicos. ¿Qué porcentaje hay de cada sexo? Hay 15 chicos que han repetido curso y 10 chicas que también lo han hecho. ¿Qué porcentaje hay de chicas que han repetido? ¿Y de alumnos y alumnas que han repetido?
- Para los cumpleaños de su familia, Juan tiene un presupuesto de 100€. Tiene que hacer un regalo a su madre, a su padre y a su hermana. Se gasta 25 euros en el regalo de su padre, ¿qué porcentaje le queda para su madre y su hermana? Ahora le ha comprado un regalo a su madre por valor de 30 euros. ¿Qué porcentaje le queda para su hermana?
- En una academia de inglés hay 100 plazas. Si en septiembre se apuntaron 55 personas, en octubre 25 y en noviembre se apuntaron 15 y se borraron 5, ¿qué porcentaje de plazas quedan libres?
Explicación teórica:
Los casos vistos en la aplicación práctica fueron fácilmente resueltos, ya que trabajamos sobre el número 100, pero… ¿qué pasa cuando queremos calcular un porcentaje sobre un número que no es 100?
Para calcular el porcentaje de una cantidad lo primero que tenemos que hacer es multiplicar dicha cantidad por el porcentaje que nos piden. Después hay que dividir el resultado entre 100.
Aplicación en la vida cotidiana:
Tras la explicación teórica, planteamos misiones que los grumetes tuvieron que resolver para finalizar la clase con éxito.
MISIÓN 1: El 75% de los clientes que un taxista ha tenido hoy le dejan propina. Si ha llevado a 16 personas, ¿cuántos pasajeros le han dejado propina?
MISIÓN 2: De una clase de 30 alumnos el 90% han pasado al siguiente curso. ¿Cuántos alumnos van a repetir?
MISIÓN 3: El 55% de los habitantes de una ciudad son varones. Si el censo de esa ciudad es de 200.000 personas, ¿cuántos son hombres y cuántas son mujeres?
MISIÓN 4: Ayer entraron a la tienda de Paco 70 personas. De ellas, 22 se gastaron más de 10 euros. ¿Qué porcentaje de gente que entró ayer se gastó más de diez euros?
Comprobación del aprendizaje:
Para finalizar, valientes grumetes voluntarios salieron a la pizarra a resolver estos ejercicios y comentamos qué nos había parecido el aprendizaje de la clase y resolvimos las dudas.
Conclusión: Todos los alumnos consiguieron realizar estos ejercicios con éxito y todas las dudas quedaron resueltas. Por tanto, podemos decir que se ha cumplido con éxito la iniciación a los porcentajes.
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Situación Didáctica II: Paso de porcentaje a fracción, y viceversa. Problemas de porcentajes: aumento y disminución.
Objetivos de la situación:
· Pasar de porcentaje a fracción y de fracción a porcentaje.
· Dominar los problemas de aumento y disminución en un porcentaje de una cantidad.
Duración de la clase: 60 minutos.
Material: Hojas de ejercicios.
Organización del aula y metodología:
La clase empezó con una charla entre todos para recordar lo explicado en la anterior clase, la introducción a los porcentajes.
Después, continuamos con una explicación teórica seguida de la realización de problemas, para volver a repetir la misma secuencia. En las partes teóricas, la disposición fue individual, y para la realización de los ejercicios se formaron parejas.
Como con esta situación didáctica finalizamos los porcentajes, hicimos un debate de todo lo aprendido sobre los porcentajes antes de finalizar la clase.
Explicación teórica:
Como vimos en la clase anterior, los porcentajes pueden expresarse también en forma de fracción y en forma decimal. Estas tres formas de numeración están relacionadas. Si tenemos una de ellas, podemos hallar sus otras dos equivalencias. Repasamos los tres casos.
Caso 1: Tenemos un porcentaje
Tenemos 15% y queremos ponerlo en forma de fracción. Ponemos el porcentaje de numerador y el 100 en el denominador. Así:
15% = 15/100
En este caso se puede simplificar así que lo hacemos:
15 % = 15 /100 = 3/20
Teniendo esta fracción simplificada, si queremos obtener un número decimal, tenemos que hacer la división con decimales y obtenemos que:
15 % = 15 /100 = 3/20 = 0,15
Caso 2: Tenemos un decimal
Tenemos 0.8 y queremos ponerlo en forma de porcentaje. Tenemos que multiplicar por 100, así:
0.8 = 80%
Ahora, si queremos obtener la fracción, imitamos el paso anterior, el porcentaje en el numerador y el 100 en el denominador. Así:
0.8 = 80% = 80/100 = 8/10 = 4/5
Caso 3: Tenemos una fracción
Tenemos 2/5 y queremos ponerlo en forma de porcentaje. Primero, obtenemos el decimal resolviendo la multiplicación:
2/5 = 0.4
Ahora, igual que en el anterior caso, sólo hay que multiplicar por 100:
2/5 = 0.4 = 40%
Todos los casos resultaron sencillos para los grumetes.
Aplicación práctica:
- Expresa en número decimal y en fracción los siguientes porcentajes:
a) 21%
b) 78%
c) 90%
- Expresa en porcentaje y en fracción los siguientes números decimales:
a) 0.5
b) 0.72
c) 0.01
- Expresa en número decimal y en porcentaje las siguientes fracciones:
a) ¾
b) 1/5
c) 3/10
- Completa la siguiente tabla:
Explicación teórica:
En la clase anterior vimos cómo calcular el porcentaje de un número, y en ésta estudiamos cómo esos porcentajes pueden aumentar o disminuir una cifra. Para empezar, si un valor ha aumentado o disminuido un porcentaje, solo tendremos que aplicar los conocimientos de la anterior clase y luego sumar o restar esa cantidad. Vimos un ejemplo:
- Una prenda de ropa valorada en 80 euros está rebajada un 20%.
Tenemos que calcular el 20% de 80 y tras esto, restárselo a 80 para ver cuánto es el valor de la prenda con el descuento.
20 x 80 = 1600
1600 / 100 = 16
80 - 16 = 64
La prenda cuesta ahora 64 euros, 16 euros menos que antes de estar rebajada.
Para problemas en los que el porcentaje aumente tendremos que seguir los pasos pero al final habrá que sumar las cantidades, no restarlas. Por ejemplo, si la anterior prenda de ropa no hubiera estado rebajada un 20% sino que se hubiera encarecido un 20%:
A 80, que era el valor anterior, le sumamos su 20%, que es 16:
80 + 16 = 96
La prenda costaría 96 euros, 16 más que antes de encarecerse.
Aplicación práctica en la vida cotidiana:
¡Llegó el momento de afrontar las MISIONES!
MISIÓN 1: Vamos por la calle y nos encontramos un letrero que anuncia un descuento del 30% en joyería. Si el anillo que quiero comprar costaba 120 euros, ¿cuánto costará ahora?
MISIÓN 2: El año pasado Marcos pesaba 90 kilos y este año pesa 81. ¿Qué porcentaje de peso ha perdido Marcos?
MISIÓN 3: Marisol ve una televisión que le gusta y cuesta 200 euros. Cuesta eso porque está rebajada un 20%. ¿Cuánto costaba entonces antes de tener esa rebaja?
MISIÓN 4: Vemos a un señor haciendo un cartel de ofertas para su tienda, pero le llaman urgentemente y no puede seguir haciéndolo. Nos pide que se lo terminamos, pero nosotros no sabemos los precios que tiene el señor en su tienda. Aun así, el señor dice que si sabemos algo de matemáticas podremos terminarlo. ¿Crees que es posible?
Comprobación del aprendizaje:
En las dos aplicaciones prácticas salieron varios grumetes a la pizarra para corregirlos. Además, se revisaron las parejas para que todos los alumnos hayan estado implicados. Por otra parte, en el debate final preguntamos a aquellos alumnos con mayores dificultades.
Conclusión: La clase concluyó con éxito ya que todos los grumetes se implicaron a la hora de resolver las misiones y en el debate final hubo un alto grado de participación.
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Situación Didáctica III: Introducción a la proporcionalidad y cálculo de proporciones directas
Objetivos de la situación:
· Identificar la proporcionalidad directa e inversa.
· Usar la regla de tres en situaciones de proporcionalidad directa para resolver problemas de la vida diaria.
Duración de la clase: 60 minutos.
Material: Proyector o televisión. Rectángulos de cartulina de dos colores diferentes.
Recursos web: https://www.youtube.com/watch?v=9QjVXWqS8Q4
Organización del aula y metodología:
Empezamos la clase con una lluvia de ideas y un pequeño debate sobre lo que los niños pensaban acerca de la proporcionalidad. También sobre si sabían la diferencia entre proporcionalidad directa y proporcionalidad inversa. Tras una introducción teórica, vimos un vídeo en el que Troncho y Moncho nos explican muy bien estos aspectos con sus aventuras:
A continuación, en grupos de cuatro alumnos, aplicamos prácticamente lo que habíamos aprendido del vídeo para resolver algunos problemas.
Explicación teórica:
Los grumetes no sabían que para que dos magnitudes sean proporcionales tienen que tener una relación entre ellas. Por ejemplo, que cuando una de ellas aumente, la otra también aumente en relación. En este caso estamos hablando de proporcionalidad directa:
Si esto es así, podemos adivinar posibles resultados conociendo sólo una magnitud. ¿Cómo? Utilizando la regla de tres:
Esto es muy útil para resolver problemas de este tipo:
También hay magnitudes que están relacionadas pero de forma inversa. Cuando una aumenta, la otra disminuye en relación:
Antes de la parte práctica, nuestros amigos Troncho y Moncho nos enseñaron un poco más acerca de las proporciones.
Aplicación práctica:
Agrupamos a los grumetes de cuatro en cuatro y repartimos rectángulos de cartulina de dos colores, cada color representaba una magnitud.
Organizando una relación entre las magnitudes contando cada rectángulo de cartulina como una unidad, resolvimos gráficamente las siguientes misiones:
MISIÓN 1: Jesús tarda 2 horas en estudiarse un tema. ¿Cuántas horas tardará en estudiarse el examen de mañana si entran 3 temas? ¿Y si entraran 5 temas? Si Jesús solo tuviera 4 horas para estudiar, ¿cuántos temas podría estudiar?
MISIÓN 2: Juan va al supermercado y ve que por 2 kilos de patatas le cobran 3 euros. ¿Cuánto le cobrarán por 4 kilos? ¿Y por 5? Si Juan tiene 15 euros y se los gasta en patatas, ¿cuántos kilos le darán?
MISIÓN 3: La familia de María va a reformar su casa. Sus padres le han dicho que si viene 1 obrero tarda 40 días, y que si vienen 2 tardan 20. Si sólo quieren estar fuera de casa durante 5 días, ¿cuántos obreros tendrán que contratar los padres de María?
Tras estas misiones fueron los grumetes los encargados de proponer alguna situación para trabajar con los materiales.
Comprobación del aprendizaje:
Tras efectuar estos ejercicios, cada grumete tuvo que escribir en una hoja un ejemplo de proporcionalidad directa y otro de proporcionalidad indirecta.
Conclusión: Se alcanzó el objetivo de la clase ya que los grumetes resolvieron con éxito los problemas mediante la aplicación práctica y fueron capaces de poner otros ejemplos, demostrando que el aprendizaje fue significativo.
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Sin duda, hemos aprendido muchas cosas nuevas, pero OJO, aún somos pequeños grumetes y no debemos olvidar:
ERRORES MÁS FRECUENTES CON LOS PORCENTAJES Y LAS PROPORCIONES
Después de ver las fracciones y los decimales, es más fácil entender el porcentaje. Aun así, tendremos que estar atentos:
1. Equivocar el orden al calcular un porcentaje.
Al calcular el porcentaje de un número, debemos multiplicar el porcentaje por el número y dividir entre cien, y no al revés.
El 20% de 200 à Tenemos que multiplicar 20 por 200 y dividirlo entre 100, no multiplicar 20 por 100 y dividirlo entre 200.
2. Olvidar aumentar o disminuir.
En los problemas en los que se descuenta o se aumenta en un porcentaje algún valor, los niños a veces olvidan sumar o restar el resultado del porcentaje, dando el ejercicio por finalizado.
Descuento del 5% de los 50 euros que cuesta una prenda: 5 x 50 = 250 à 250 / 100 = 2.5
Es importante no olvidarnos de que 2.5 es el valor que se descuenta. Así que la prenda cuesta ahora: 50 – 2.5 = 47.5 euros
¡Son errores de concentración que no pueden echar a perder nuestro aprendizaje!
Veamos ahora errores de las proporciones:
3. Confundir proporcionalidad directa con proporcionalidad inversa.
Tenemos que pensar bien antes de realizar un ejercicio para estar seguros de ante cuál de los dos casos estamos. Si una magnitud aumenta con la otra, proporcionalidad directa. Si una magnitud disminuye cuando aumenta la otra, proporcionalidad inversa.
4. Aumentar las mismas unidades una magnitud y otra.
Hay que tener cuidado para evitar este tipo de errores, que surgen de establecer una relación aditiva y no multiplicativa. Por ejemplo, en esta tabla:
Euros
|
2
|
6
|
Kilogramos
|
3
|
- Respuesta incorrecta: como hemos aumentado 4 euros, aumentamos 4 kilogramos.
- Respuesta correcta: como hemos triplicado los euros, triplicamos los kilogramos.
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Llegados a este punto esperamos que tengáis todas vuestras dudas resueltas porque…
¡Empiezan las misiones para viajar a la siguiente isla!
Tendrás que completar todas ellas con éxito. Recuerda que el objetivo del viaje a esta isla ha sido comprender cómo funcionan y para qué sirven los porcentajes y las proporciones.
¡Allá vamos!
¡Empiezan las misiones para viajar a la siguiente isla!
Tendrás que completar todas ellas con éxito. Recuerda que el objetivo del viaje a esta isla ha sido comprender cómo funcionan y para qué sirven los porcentajes y las proporciones.
¡Allá vamos!
MISIÓN 1: Un hotel tiene 300 habitaciones de las cuales 60 están vacías. ¿Cuál es el porcentaje de ocupación?
MISIÓN 2: De las 150 personas que viven en mi urbanización, 30 no han bajaron ni un solo día a la piscina el último verano. ¿Qué porcentaje de personas que viven en mi urbanización utilizan la piscina?
MISIÓN 3: Expresa en porcentaje:
a) 2/10
b) 0.75
c) 5/50
d) 0.12
MISIÓN 4: Lucía ha pagado este mes 25 euros de móvil. Si el mes pasado pagó 20 euros, ¿qué porcentaje ha ampliado su factura respecto al mes anterior?
MISIÓN 5: Expresa si es proporcionalidad directa o proporcionalidad inversa, en los siguientes casos:
· Las horas que trabaja un empleado y el dinero que gana.
· El tiempo que tarda un tren en llegar a su destino y la velocidad que lleva.
· El tiempo que tarda en llenarse una bañera y el número de grifos que la llenan.
MISIÓN 6:
Y ahora… ¿Qué tal si antes de partir os vais de compras en familia por la Isla de Proporcilandia? ¡A ver cuál es la moda aquí!
¿Pagamos o hacemos un motín? Venga… ¡Que somos piratas buenos! Vamos a la caja y al llegar allí se presenta el dependiente:
-¿Tantas ropas son para un cumpleaños? ¿Sabéis la paradoja del regalo de cumpleaños? Esta dice que en una fiesta de cumpleaños con 23 invitados, hay un 50% de probabilidades de que al menos 2 personas lleguen con el mismo regalo.
Me llamo Proporcio y estáis de suerte, ya que estamos en oferta ¡Más aún!
Escribid una factura de las prendas que habéis comprado indicando el precio inicial y el precio final tras los fantásticos descuentos que hay en Proporcilandia.
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¡ATENCIÓN, GRUMETE, NOS LLEGAN NOTICIAS DESDE EL PUERTO!
- Si os han fascinado los porcentajes...La cosa puede complicarse.
- http://www.ciencia-explicada.com/2012/06/diferencias-entre-porcentaje-puntos.html
- En este artículo descubriréis las diferencias entre porcentajes, puntos porcentuales y puntos básicos.
¡Ahora sí que estáis listos para partir hacia la Isla de los Polígonos Salvajes!
Ahora que han empezado las rebajas ¡esto es un no parar de calcular porcentajes!
ResponderEliminarPero que interesante!! Así si se pueden aprender las matemáticas. Enhorabuena por hacer que nuestros hijos se diviertan aprendiendo.
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